[百度网盘]高等数学 PDF

节选

第1章函数、极限和连续 柯西(Augustin-Louis Cauchy， 1789—1857)(图1 -1)，法国数学家、物理学家、天文学家.他自幼聪明好学，对物理学、力学和天文学都做过深入的研究；他是一位多产的数学家，一生共发表论文约800篇，他的名字出现在许多定理、公式中. 他在数学上最大的贡献是在微积分中引入极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系.由他提出的极限定义的s方法，后经魏尔斯特拉斯改进，已成为今天所有微积分教科书中的典范. 17世纪后期， 牛顿、莱布尼茨创立微积分学 ， 成功地解决了力学、天文学等领域中的许多问题 ， 但是微积分这座大厦的基础还不牢固. 在此后一百多年中， 数学家经历了一个漫长而艰苦的由认识逐步到深化的过程， 直到19世纪， 柯西、魏尔斯特拉斯等引入极限论、实数论 ， 使微积分理论严格化， 建立了成熟的理论体系——高等数学. 高等数学的研究对象是函数——一种刻画变量间相互关系的数学模型， 主要研究对象是具有连续性的函数; 它的研究内容是微积分， 包括微分学和积分学， 而它研究的思想方法是极限， 极限思想贯穿在高等数学学习的始终， 高等数学中的许多基本概念， 例如连续、导数和定积分等， 都是通过极限来定义的. 本章在复习和补充函数知识的基础上， 主要学习极限和连续等基础知识， 为今后的微积分学习打下坚实的基础. 第1节 函数 一、函数的概念 1. 函数的定义定义1 设x和y是某一变化过程中的两个变量， D是给定的一个实数集合， 如果对于D中的每一个值x，按照一定的对应法则 f ， 变量y都有第一确定的值和它对应， 则称y是 x的函数， 记为 其中x称为自变量， y称为因变量， f称为对应法则 ， 集合D称为函数的定义域. 当x在D中取值x0时， 按照对应法则f ， y有第一确定的值y0和它对应， 则y0称为函数f ()在x0处的函数值， 即. 所有函数值构成一个集合， 称为函数的值域， 通常用M表示， 即 函数的定义域和对应法则是构成函数的两要素， 两个函数只有当它们的定义域和对应法则完全相同时才是相同的函数. 2. 函数的定义域 函数的定义域是构成函数的重要因素之一， 因此研究函数时必须注意函数的定义域. 在考虑实际问题时 ， 应根据问题的实际意义来确定定义域 ， 如球体积中， R为球的半径，3 只能取非负值. 对于用数学式子表示的函数， 定义域是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围， 它是一个非空数集. 求函数的定义域， 重点考虑以下几个因素: (1) 函数中含有偶次方根时， 被开方数不能为负数. (2) 函数中含有分式时， 分母不能为零. (3) 函数中含有对数时， 对数的真数为正数. 函数的定义域可以用集合或区间表示， 如函数的定义域可表示为或. 例 1求下列函数的定义域. (1) (2) 解 (1) 要使函数有意义， 必须满足 解得 所以函数的定义域是. (2) 要使函数有意义， 必须满足， 即 解得 所以函数的定义域是. 3. 邻域 定义 2设是大于零的实数 ， 则开区间 () 称为点 x0的邻域(图 1-2)， 记作， 即 图 1-2 邻域是一种特殊的区间， 它的几何意义是数轴上以x0为中心， 到x0的距离小于的点的集合， 可以用不等式.表示. 不包括 x0的邻域称为， 即x0的去心邻域(图1-3)， 记作 图 1-3 4. 分段函数定义3 一般地， 在定义域的不同区间上具有不同对应关系的函数称为分段函数. 例如， 根据某试验 ， 注射胰岛素后 ， 血液中胰岛素浓度 C(单位: ml)与注射时间 t(单位: min)的关系为 这里C(t)为一个分段函数， 不是两个函数， 定义域. 一般地， 分段函数的定义域是各段“定义域”的并集. 5. 复合函数 定义 4设函数的定义域为D ， 函数的定义域为D1， 值域为 M1， 且， 若对于D1中的任意x ， 通过u有第一确定的y和它相对应， 则称y是x的复合函数， 记为 其中u称为中间变量. 例如， 由两个函数复合而成的函数为 y＝sin( x＋1) ， 由三个函数复合而成的函数为. 如果把函数看成机器， 那么图1-4告诉我们复合函数可以看成是由两个或两个以上的机器组成的机器组， “复合”过程可简单地看成“变量代换”. 图 1-4 不是任意两个函数都可以进行复合，的值域必须包含于的定义域， 即 . 例如 与不能进行复合. 复合函数的分解是复合函数的求导与积分运算的基础， 必须熟练地掌握， 一般采用“从整体到局部，由外往里，一层一层地进行分解”的策略. 例 2试将下列函数分解为简单函数: (1) (2) 解 (1)函数可看成由和复合而成; (2) 函数可看成由复合而成. 练一练 判断对错， 正确的打“√” ， 错误的打“ ×”. (1) 函数和是相同的函数; ( ) (2) 函数的定义域为(0， +∞); ( ) (3) 函数和复合成; ( ) (4) 分段函数的定义域是各段“定义域”的并集. ( )

内容简介

《高等数学（第四版）》是根据教育部关于高职高专高等数学课程教学基本要求，考虑到高职高专的特点，结合医学(护理、医学检验技术等)和药学相关专业的需要，在前三版的基础上修订而成的. 《高等数学（第四版）》共8章，分别为函数、极限和连续，一元函数微分学，一元函数积分学，多元函数微分学，二重积分，常微分方程，线性代数初步，MathStudio与数学实验.习题形式多样，有练一练、习题和单元测试，方便学生进行练习和检测；每章前的数学家介绍和每章后的阅读材料，让数学文化贯穿《高等数学（第四版）》.

目录