普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等_PDF下载[151MB-百度云]代鸿、孔昭毅、党庆一、赵润峰

节选

[

第9章多元函数微分法及其应用上册中讨论的函数只有一个自变量,这种函数称为一元函数.然而在许多实际问题中,很多量是由多方面的因素决定的,反映到数学上就是一个变量依赖于多个变量的情形.这就提出了多元函数以及多元函数的微积分问题.
本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.讨论时以二元函数为主，进而推广到二元以上的多元函数.
9.1多元函数的基本概念〖*4/5〗9.1.1平面点集定义9.1.1坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作D={(x,y)|(x,y)具有性质P}例如,平面上以原点为圆心,半径为2的圆内所有点的集合是D={(x,y)|x2+y2
如果点集 D 内任意两点都可用有限条折线连接起来,且该折线上的点都属于 D，则称点集 D 是连通集(如图9.1.3所示).
连通的开集称为区域或开区域.开区域同它的边界组成的点集称为闭区域.例如,集合 (x,y)|1
对于点集 D，如果存在原点的某一个邻域 U(O)，使得图9.1.4 D�糢(O) 则称点集D为有界集(如图9.1.4所示).反之,称 D 为无界集.例如,集合 (x,y)|1≤x2+y2≤4是有界闭区域,集合 (x,y)|x+y>0 是无界开区域,集合 (x,y)|x+y≥0 是无界闭区域.
9.1.2n维空间
由平面解析几何知道R,R2,R3 分别表示实数,二元有序数组 (x,y)，三元有序数组 (x,y,z) 的全体,它们分别对应于数轴,二维平面,三维立体空间.推广到一般情况，n 元有序数组 (x1,x2,…,xn) 的全体用Rn 来表示,它对应于 n 维空间.即Rn=(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,2,…,n 任意一个n元有序数组(x1,x2,…,xn)称为n维空间的一个点P，表示为P(x1,x2,…,xn)，其中xi(i=1,2,…,n)称为点P的第i个坐标.
为了集合Rn 中的元素建立联系,在Rn 中定义的线性运算如下:
设 x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn) 为Rn 中的任意两个元素，λ∈R.规定 x±y=(x1±y1,x2±y2,…,xn±yn)，λx=(λx1,λx2,…,λxn) 设Rn 中任意两点为 P(x1,x2,…,xn) 与 Q(y1,y2,…,yn)，则 P 与 Q 之间的距离表示为 PQ，规定 PQ=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2 显然，n=1,2,3 时,上述规定与数轴上,平面直角坐标系及空间直角坐标系中两点间的距离公式是一致的.由于 Rn 中线性运算和距离的引入,则前面平面点集所叙述的一系列概念,都可以推广到 Rn 中去了.例如，Rn 中的点 P(x1,x2,…,xn) 的邻域 U(P,δ) 可表示为 U(P,δ)=QPQ
在一元函数中,函数关系是因变量的取值仅依赖于一个自变量,而在实际问题中需研究的是因变量依赖于多个自变量的函数关系.例如,圆柱体的体积 V=πr2h，其中 V 是由圆柱体的半径 r 和 h 决定的.
定义9.1.3设 D 是平面上的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 (x,y)，都存在唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的二元函数,记为 z=f(x,y),(x,y)∈D 其中 x,y 称为自变量，z 称为因变量.点集 D 称为函数 z=f(x,y) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D).即 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)∈D 二元函数在点 (x0,y0) 取得的函数值,记为zx=x0y=y0，z(x0,y0)或f(x0,y0) 类似地可定义三元及以上的函数.
定义9.1.4设 D 是 n 维空间Rn 内的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 P(x1,x2,…,xn)，都存在唯一确定的实数 y 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的 n 元函数,记为 y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D 其中 x1,x2,…,xn 称为自变量，y 称为因变量.点集 D 称为函数 y=f(x1,x2,…,xn) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D).
当 n≥2 时，n 元函数称为多元函数.与一元函数类似,一般地,由解析式给出的多元函数 y=f(P) 的自然定义域就是使这个式子有意义的自变量所组成的点集.
例1求 f(x,y)=9－x2－y2+ln(x2+y2－4) 的定义域.
解要使表达式有意义,必须 9－x2－y2≥0
x2+y2－4>0 即 4<>
二元函数的几何意义
设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，取P(x,y)∈D，对应的函数值为z=f(x,y)，于是有序数组(x,y,z)确定了空间上的一点M(x,y,z).当(x,y)取遍D中的所有点时,得到一个空间点集 (x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D 称为二元函数 z=f(x,y) 的图形(如图9.1.5所示).
二元函数的图形是空间中一张曲面,它在 xOy平面上的投影区域就是该函数的定义域.例如,二元函数 z=1－x2－y2 表示以原点为中心,1为半径的上半球面(如图9.1.6所示).
图9.1.5
图9.1.6

]

本书特色

[

本书分为上、下两册.下册内容包括: 微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分法及其应用，重积分和曲线积分，无穷级数共5章.
全书弱化了定理证明，在例题及习题的选取上突出了应用性，强化了高等数学课程与后续专业课程的联系，便于教学和自学. 本书可作为普通高等学校（少学时）、独立学院、成教学院、民办学院本科非数学专业的教材.本书还突出了高等数学在经济中的应用，因而经济类本科院校同样适用.

]

内容简介

[

]

作者简介

[

代鸿，男，重庆大学硕士，讲师。主编了数学类教材4部，主持省部级课题、教学质量工程多项，担任重庆大学城市科技学院数理教研室副主任。

]

第7章微分方程1
7.1微分方程的基本概念1
7.1.1引例1
7.1.2微分方程定义2
习题7��15
7.2可分离变量微分方程5
7.2.1可分离变量微分方程定义及解法5
7.2.2可分离变量微分方程的应用6
习题7��29
7.3齐次型微分方程9
7.3.1齐次型微分方程定义及解法9
7.3.2可化为齐次型微分方程12
习题7��314
7.4一阶线性微分方程14
7.4.1一阶线性微分方程的定义14
7.4.2一阶非齐次线性微分方程的解法15
7.4.3伯努利方程18
习题7��420
7.5可降阶高阶微分方程21
7.5.1y″=f(x)型21
7.5.2y″=f(x，y′)型22
7.5.3y″=f(y，y′)型23
习题7��526
7.6高阶线性微分方程26
7.6.1二阶齐次线性微分方程解的结构27
7.6.2二阶非齐次线性微分方程解的结构28
习题7��629高等数学（下册）（第2版）目录[1][2]7.7二阶常系数齐次线性微分方程30
习题7��733
7.8二阶常系数非齐次线性微分方程34
7.8.1f(x)=Pm(x)eλx型34
7.8.2f(x)=eλx［Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx］型37
习题7��838
总复习题七39
第8章向量代数与空间解析几何41
8.1向量及其线性运算41
8.1.1向量的概念41
8.1.2向量的线性运算42
8.1.3向量的坐标表示43
习题8��146
8.2数量积和向量积46
8.2.1两向量的数量积46
8.2.2两向量的向量积47
习题8��249
8.3平面及其方程49
8.3.1平面的点法式方程49
8.3.2平面的一般式方程50
8.3.3两平面的位置关系52
8.3.4点到平面的距离53
习题8��354
8.4空间直线及其方程54
8.4.1空间直线的点向式方程及参数方程54
8.4.2空间直线的一般式方程56
8.4.3两直线的位置关系58
8.4.4直线与平面的位置关系58
8.4.5平面束59
习题8��460
8.5曲面及其方程61
8.5.1曲面方程的概念61
8.5.2简单曲面61
8.5.3常见的二次曲面64
习题8��566
8.6空间曲线及其方程66
8.6.1空间曲线的一般式方程66
8.6.2空间曲线的参数方程67
8.6.3空间曲线在坐标面上的投影67
习题8��668
总复习题八69
第9章多元函数微分法及其应用71
9.1多元函数的基本概念71
9.1.1平面点集71
9.1.2n维空间73
9.1.3多元函数的概念73
9.1.4多元函数的极限75
9.1.5多元函数的连续性77
9.1.6多元函数在有界闭区域上的连续性79
习题9��180
9.2偏导数80
9.2.1偏导数的定义及其计算方法80
9.2.2偏导数的几何意义83
9.2.3偏导数与连续之间的关系83
9.2.4高阶偏导数84
习题9��285
9.3全微分86
9.3.1全微分的定义86
9.3.2可微的条件87
9.3.3全微分在近似计算中的应用90
习题9��391
9.4多元复合函数的求导法则91
9.4.1多元复合函数求导91
9.4.2多元复合函数的高阶导数94
9.4.3全微分形式不变性95
习题9��496
9.5隐函数求导法97
9.5.1一个方程F(x,y)=0的情形97
9.5.2一个方程F(x,y,z)=0的情形98
9.5.3方程组的情形99
习题9��5101
9.6多元函数的极值及其求法101
9.6.1多元函数的极值102
9.6.2多元函数的*值104
9.6.3条件极值105
习题9��6109
9.7多元函数微分学的几何应用109
9.7.1空间曲线的切线与法平面109
9.7.2曲面的切平面与法线112
9.7.3全微分的几何意义114
习题9��7115
总复习题九116
第10章重积分和曲线积分117
10.1二重积分的概念与性质117
10.1.1二重积分概念的背景117
10.1.2二重积分的概念119
10.1.3二重积分的性质120
习题10��1122
10.2二重积分的计算法123
10.2.1利用直角坐标计算二重积分123
10.2.2利用极坐标计算二重积分128
习题10��2133
10.3二重积分的应用135
10.3.1曲面的面积135
10.3.2质心138
10.3.3转动惯量139
习题10��3140
10.4三重积分140
10.4.1三重积分概念的背景140
10.4.2三重积分的概念141
10.4.3三重积分的计算141
习题10��4147
10.5对弧长的曲线积分148
10.5.1对弧长的曲线积分概念的背景148
10.5.2对弧长的曲线积分的概念与性质148
10.5.3对弧长的曲线积分的计算法149
习题10��5152
10.6对坐标的曲线积分152
10.6.1对弧长的曲线积分概念的背景152
10.6.2对弧长的曲线积分的概念与性质153
10.6.3对弧长的曲线积分的计算法155
10.6.4两类曲线积分之间的关系159
习题10��6161
10.7格林公式及其应用162
10.7.1格林公式162
10.7.2平面上曲线积分与路径无关的条件164
习题10��7167
总复习题十168
第11章无穷级数171
11.1常数项级数171
11.1.1常数项级数的基本概念171
11.1.2无穷级数的基本性质174
习题11��1176
11.2正项级数176
习题11��2183
11.3一般项级数184
11.3.1交错级数及其审敛法184
11.3.2绝对收敛与条件收敛185
习题11��3187
11.4幂级数188
11.4.1函数项级数的基本概念188
11.4.2幂级数的概念189
11.4.3幂级数的性质194
11.4.4幂级数的运算196
习题11��4196
11.5函数展开成幂级数197
11.5.1泰勒级数197
11.5.2函数展开成幂级数的方法198
��11.5.3函数的幂级数展开式的应用201
习题11��5203
11.6傅里叶级数204
11.6.1三角级数204
11.6.2以2π为周期的函数的傅里叶级数205
11.6.3以2l为周期的函数的傅里叶级数210
习题11��6212
总复习题十一213
附录C二阶和三阶行列式简介216
附录D空间坐标系简介219D.1空间直角坐标系219
D.2极坐标220
习题答案与提示227